Scale-free network 的特性

Scale-free network 是一種具有 power law distribution 的網路圖。在 scale-free network 中，有一些節點的 degree 會比其他節點來的高，這些節點被稱為 hub（樞紐）。

Preferential attachment

Scale-free network 可以藉由 preferential attachment 來產生。Preferential attachment 是一種機制，當一個新的節點加入網路圖的時候，會優先選擇 degree 較高的節點來連接（這樣就可以產生一個有 Hub 的網路圖）。

公式推導

在 Network Science 這本書裡面，作者舉的一個例子。如果 WWW 是一個 random network，那它的 degree distribution 應該是 Poisson distribution，但事實並非如此。作者將圖改成 log-log scale plot 之後發現將資料點連起後會很接近一條直線，這就代表 WWW 是一個 power-law distribution。

Log-log scale - 線性迴歸

• 
• 對兩邊取指數，可以得到
• 其中 稱作 power law exponent，會在前加上負號是因為斜率是負的（我猜的）
• 稱作 normalization constant

如果想要知道 k 剛剛好等於某個 degree 的機率為多少的時候，我們可以用下面的兩種公式進行計算（分別為假設 degree 為 discrete 或是 continuous）：

Discrete

1. 把所有可能的 degree 加總之後，機率要剛好等於 1 ，
2. 也可以寫成
3. 
4. 這個式子剛好可以用 Riemann zeta 函數來表示，
5. 所以

Continuous

1. 使用積分處理，
2. 也可以寫成
3. 進行交換律之後可以得到
4. 進行積分，可以得到
5. 因為 會變成 0，所以就只計算 ，可以化簡成
6. 

參考資料

• On the Power Law Statistical Distribution of Observations
• Network Science